1.简谐运动；2.简谐运动的描述；3.简谐运动的回复力和能量；4.单摆；5.实验：用单摆测量重力加速度；6.受迫振动、共振

1.简谐运动

（1）弹簧振子

平衡位置(equilibrium position)：振子原来静止时的位置.

(资料图片仅供参考)

机械振动(mechanical vibration)：振子在平衡位置附近的往复运动，简称振动.

弹簧振子(spring oscillator)：小球和弹簧构成的系统.

【弹簧振子的位移—时间图象(x-t图象)】

用横坐标表示振子运动的时间(t)，纵坐标表示振子离开平衡位置的位移(x)，描绘出的图象就是位移随时间变化的图象，即x-t图象，如下图所示。

振子的位移：振子相对平衡位置的位移。

平衡位置：振子原来静止时的位置。平衡位置不一定是中心位置，如图2(a)所示物体的振动，物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态，如图2(b)所示物体的振动。

弹簧振子是一种理想化模型。实际物体可看成弹簧振子的条件：①不计摩擦阻力和空气阻力；②不计弹簧的质量；③物体可视为质点；④弹簧的形变在弹性限度内。

【弹簧振子的振动分析】

①位移及其变化

位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置.当振子从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；当振子由最大位移处向平衡位置运动时，位移减小。

②速度及其变化

振子在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零.振子由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小；振子由最大位移处向平衡位置运动时，速度增大。

③加速度及其变化

水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振子受到的合力，竖直弹簧振子所受的重力与弹力之和是振子受到的合力。不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，均满足：在平衡位置处所受的合力为零，加速度为零；而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大。

（2）简谐运动及其图象

简谐运动(simple harmonic motion)：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x-t图象)是一条正弦曲线。注意：x-t图象不是振子的运动轨迹。

【x-t图像的应用】

①可直接读出不同时刻t的位移x值。位于x轴上方的x值表示位移为正，位于t轴下方的x值表示位移为负，如图3甲所示。

②判断任意时刻质点的振动方向。看下一相邻时刻质点的位置，如图乙中点，下一相邻时刻比时刻离平衡位置远，故点此刻向方向运动。

③速度的大小和方向可根据图象上某点的切线的斜率判断。图象上某点切线的斜率大小表示速度大小，斜率的正负表示运动的方向。在平衡位置，切线斜率最大，质点速度最大；在最大位移处，切线斜率为零，质点速度为0。在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大。

2.简谐运动的描述

（1）描述简谐运动的物理量

①振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离。

振幅与位移的区别：（a）振幅等于最大位移的数值；（b）对于一个给定的振动，振动物体的位移是时刻变化的，但振幅是不变的；（c）位移是矢量，振幅是标量。

路程与振幅的关系：（a）振动物体在一个周期内的路程为四个振幅；（b）振动物体在半个周期内的路程为两个振幅（c）振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅。

②全振动：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，称为一次全振动。如下图所示，类似于O→B→O→C→O的一个完整的振动过程。

【全振动特征】

（a）物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。

（b）时间特征：历时一个周期。

（c）路程特征：振幅的4倍。

（d）相位特征：增加2π。

③周期和频率

周期(T)定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间。单位：国际单位是秒(s)。

频率(f)定义：单位时间内完成全振动的次数。单位：赫兹(Hz)。

二者关系：。都是标量，反映了振动的快慢。

一个振动系统的周期、频率由振动系统决定，与振幅无关。

④相位：描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态

（2）简谐运动的表达式

简谐运动的一般表达式为。 x表示振动物体相对于平衡位置的位移；t表示时间；A表示简谐运动的振幅；叫做简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，(与周期T和频率f的关系)。

代表简谐运动的相位，表示时的t=0相位，叫做初相位(或初相)。

【相位差】

若两个简谐运动的表达式为，则相位差为。

【特殊点】

当时(n为任意整数)，，即；

当时(n为任意整数)，，即；

当时(n为任意整数)，，即。

（3）简谐运动的周期性和对称性

如下图所示

【时间的对称】

①物体来回通过相同两点间的时间相等，即。

②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中。

【速度的对称】

①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。

②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。

【位移的对称】

①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。

②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反。

3.简谐运动的回复力和能量

（1）简谐运动的回复力

①简谐运动：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。

②回复力

定义：使振动物体回到平衡位置的力。

方向：总是指向平衡位置。回复力为零的位置就是平衡位置。

表达式：。k是比例系数，其值由振动系统决定，与振幅无关。只有水平弹簧振子，回复力仅由弹力提供，k为劲度系数。“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。

简谐运动的加速度：由及牛顿第二定律可知，，加速度与位的大小成正比，方向与位移方向相反。

回复力的性质：回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力，分析物体受力时不能再加上回复力。

例如：如图7甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供。

物体做简谐运动的判断方法：简谐运动的回复力满足；简谐运动的振动图象是正弦曲线。

（2）简谐运动的能量

①能量转化

弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。

特点：在最大位移处，势能最大，动能为零；在平衡位置处，动能最大，势能最小。对于同一个振动系统，振幅越大，振动的能量越大。

简谐运动是一种无能量损失的振动，所以其振幅保持不变，又称为等幅振动。

在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。

4.单摆

（1）单摆及单摆的回复力

单摆：如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。

单摆的平衡位置：摆球静止时所在的位置。

单摆向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力。

单摆的回复力来源：如下图所示，摆球的重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力。

回复力的特点：在偏角很小时，，

所以单摆的回复力为，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆的运动可看成是简谐运动。

回复力的大小：在偏角很小时，摆球的回复力满足，此时摆球的运动可看成是简谐运动。

注意：单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零；单摆的回复力为小球受到的重力沿圆弧切线方向的分力，而不是小球受到的合外力。

（2）单摆的周期

伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。

单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越长。

单摆的周期公式：。

单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立，偏角为5°时，由周期公式算出的周期和准确值相差0.01%。

公式中是摆长，即悬点到摆球球心的距离。

公式中是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。

周期只与和有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。

5.实验：用单摆测量重力加速度

（1）实验原理

由，可得，则测出单摆的摆长和周期，即可求出当地的重力加速度。

（2）实验器材

铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。

（3）实验步骤

①让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆。

②将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂.在单摆平衡位置处做上标记。

③用刻度尺量出悬线长(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长。

④把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球。摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。

⑤改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。

（4）数据处理

公式法：每改变一次摆长，将相应的和代入公式中求出值，求出的平均值。

设计如下实验表格

图像法：由得，以为纵坐标，以为横坐标作出图像（如下图所示）。其斜率，由图像的斜率即可求出重力加速度。

【注意事项】

①选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。

②摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小。

③摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。

④计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间t。

6.受迫振动、共振

（1）固有振动、阻尼振动

固有振动：振动系统在不受外力作用下的振动。固有频率：固有振动的频率。

阻尼：当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼。

阻尼振动：振幅逐渐减小的振动，如下图所示。

（2）受迫振动

驱动力：作用于振动系统的周期性的外力。

受迫振动：系统在驱动力作用下的振动。

受迫振动的频率：做受迫振动的物体，其振动频率总等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。

【三种振动的理解】

①简谐运动：一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑.

②阻尼振动：考虑阻力的影响，是更实际的一种运动.

③受迫振动：物体做阻尼振动时受到周期性驱动力作用下的振动.

【三种振动的比较】

（3）共振

定义：驱动力的频率f等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。

共振曲线，横坐标为驱动力的频率，纵坐标为受迫振动的振幅，如下图所示。

从受力角度看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，直到振幅达到最大。

从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。振动能量最大，振幅最大。

认识曲线的形状：，共振；或，振幅较小。与相差越大，振幅越小。

【共振的利用与防止】

利用：要利用共振，就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致.如共振筛、共振转速计等。

防止：在需要防止共振危害时，要尽量使驱动力的频率和固有频率不相等，而且相差越多越好。如：部队过桥应便步走。

说明：共振是物体做受迫振动时的一种特殊现象。

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